Udgivet af forlaget Matematik, 2002 ©
Hæderlighedsgyden 6
Postboks 102, Nordby
8305 Samsø
tlf. 8659 6022     
fax 8659 6268
E-mail: Denne emailadresse er beskyttet mod programmer som samler emailadresser. Du skal aktivere javascript for at kunne se adressen.

Redaktion: Bent Dyrby, Hans Jørgen Hansen og Jørgen Kongsted Olsen
Layout og fotos: Marianne Kongsted Olsen
Tryk: Clemenstrykkeriet, Århus
ISBN 87-88228-67-3

Eleverne
Fra 1. til 4. klasse gennemgår eleverne en rivende udvikling fysisk og mentalt, men ikke alle i samme tempo. I en 4. klasse er der tit elever på måske 5 forskellige udviklingstrin. At tage hensyn hertil er en af skolens mest krævende opgaver.

Faget
Man kan gå ud fra at de helt elementære færdigheder med tal og former beherskes af de fleste så der er noget at bygge videre på. Arbejdet med tallene er dog kun en del af faget. Tidligere var regning og matematik adskilte ting, men nu betragtes det elementære arbejde med tal som et hjørne af det store fag matematik. I løbet af 4., 5. og 6. klasse skulle begreber som brøk, decimaltal og procent kunne kaperes. I geometrien kommer ord som vinkel, parallel med, perspektiv, areal og rumfang blandt meget andet på tale, men altså over en 3-årig periode. Hvor man på begyndertrinnet primært arbejdede med konkrete materialer, kan man nu i højere grad bruge forestillinger inde i hovedet om konkrete ting og symbolik. Men mange er stadig i den "konkrete fase" hvad der bør tilgodeses. I undervisningen kan problemløsning nu indtage en større plads da læsefærdighederne bliver mere og mere udviklet. Og naturligvis lægges der stadig vægt på at eleverne kan anvende det de hidtil har lært sig. Det må understreges at der er meget stor forskel på skolefaget matematik og videnskabsfaget matematik.

Lærerens rolle
I det engelske sprogområde har man 2 forskellige ord for "at lære": "To teach" og "to learn". Der er nemlig to sider i enhver undervisningssituation. Den ene side er den velkendte hvor læreren først og fremmest er instruktør. Altså viser hvordan man gør eller kan gøre for at komme fra start til mål i en problemløsningssituation. Det kan i visse tilfælde være nødvendigt at vise en fremgangsmåde og derefter træne proceduren så den måske bliver til en færdighed hos eleven. Den anden side af lærerrollen er vanskeligere at karakterisere med få ord. Det handler om at motivere eleverne til at gøre en selvstændig indsats ud fra devisen: Det er den der arbejder, der lærer noget. Derfor er lærerrollen også at være igangsætter, undervejs at stille krav, undervejs at opmuntre og rose hvis dette er muligt, give råd, kort sagt være supervisor, men også at holde hænderne på ryggen og bare være til rådighed mens eleverne arbejder.

Undervisningens faglige indhold
Læreren er forpligtet til at undervise efter den læseplan der er godkendt af de kommunale myndigheder. Indholdet af undervisningen ligger derfor fast, men det er den enkelte lærer selv der bestemmer hvordan undervisningen tilrettelægges og gennemføres.

På mellemtrinnet omfatter indholdet typisk:
- Tallene som værktøj i matematikken
- Form og tegning som udgangspunkt for læring om geometri
- Hvordan matematikken kan anvendes
- Problemløsning og arbejdsmetoder

Forældrenes rolle
Forældrene har store muligheder for fortsat at bidrage aktivt til at eleverne bevarer den glæde ved matematik som de fleste elever har med sig fra de yngste klasser. I dag undervises der på en sådan måde at eleverne ofte slet ikke følges ad. Det vil derfor ikke være muligt at overdrage en eventuel restmængde af arbejdet til elevens selvstændige og forpligtende arbejde hjemme. Det giver ikke mening at skulle indhente noget eller komme endnu længere foran resten af klassen. Men drøftelser i hjemmet om hverdagens matematik er til stor fordel for den enkelte elev og støtter skolen i bestræbelserne på at gøre matematik til et fag der beskriver elevernes og forældrenes omverden.

Hverdagens matematik
Det er stadigvæk matematik i elevernes omgivelser der er grundlæggende for at skabe glæde og interesse for faget i skolen. Fx tid, afstand, hastighed, timeplan, antal lektioner, bilnumre, lokalet, bygningerne, elevtal, mødeprocent, cykler, borddækning, dato, kalender, fødselsdage, penge og sport.
Alt sammen indebærer jo anvendelse af tallene, og talkendskab og talbehandling er som sagt stadig en væsentlig ingrediens i skolefaget. Der

findes nu om dage rigtig mange hjælpemidler til dette arbejde, og foruden simpel hovedregning bruger eleverne både computere og lommereg­nere som naturlige hjælpemidler. I de omtalte eksempler er der også mange ele­menter fra geometriens verden. Nu handler det ikke blot kun om areal- og rumfangsformler for de forskellige kendte former, men meget mere om eksperimenter med trekanter, firkanter, kugler, kasser og andre former.

Her er et eksempel på en problemløsningssituation:

Hvis man spørger eleverne:
Hvor mange trekanter er der her?
- så er der kun et rigtigt svar.
Dvs. at alle med forkert svar
får en negativ oplevelse.

Hvis man derimod spørger:
Hvor mange trekanter ser du her?
- så er der mange rigtige
svar - og dermed
mange vindere!

Man kan gøre opgaven lettere ved at tage den nederste række væk
- eller sværere ved at sætte endnu en række på forneden.

Hvad ser du?
Nogle elever ser 16 trekanter. Nogle ser 17 eller 21 trekanter.
De forskellige svar, som jo alle er rigtige, kan nu give anledning til at eleverne i grupper på 2 eller flere diskuterer hvad de ser. De går på opdagelse og bruger sproget for at komme videre.

Andre spørgsmål kunne være:
- Hvor mange flere trekanter er der i en ny række end i den foregående?
- Hvor mange trekanter er der i hver række?
- Hvor mange små trekanter er der tilsammen i hver af de store trekanter?
Her er der tale om erfaring i at tælle og systematisere. Hvis man skal svare på hvor mange små trekanter der er i 6. række - eller i 10. række, kommer man ind i nye overvejelser.
Hvilken slags tal er 1-3-5-7.... ? eller 1-4-9 ?
Hvilket tal bliver det næste?

Eksperimenterende matematik
Karakteristisk for skolefaget matematik er netop den eksperimenterende arbejdsform der er baseret på elevernes aktive indsats for at gøre opdagelser og nå til større faglig erkendelse vedrørende tal og form. I denne sammenhæng bliver der tit tale om samarbejde i elevgrupper, for reglen er at ikke alle samtidig arbejder med det samme. Derved kan der tages hensyn til den såkaldte elevspredning, dvs. hensyn til at elevernes forudsætninger i en klasse er vidt forskellige.

Tværfagligt arbejde
Da skolens formål bl.a. er at give eleverne en større alsidig personlig udvikling, er faggrænserne også under opblødning så fagene ses i en bredere sammenhæng. Det praktiseres gennem såkaldte tværfaglige forløb hvor et overordnet tema behandles uden hensyn til faggrænser. I sådanne forløb arbejder en større eller mindre del af elevernes lærere sammen, og matematiktimerne bidrager på lige fod med de andre fag. Her kommer elevernes faglige viden og færdigheder i anvendelse.

I arbejdet med et emne sker det ofte at eleven motiveres til selv at søge ny information for at løse et problem der er opstået undervejs i processen. I dag er der virkelig mange muligheder for at finde information på biblioteket og på internettet.
Som forældre kan man spørge sig om eleven lærer sig noget når det tværfaglige arbejde eller projekterne foregår. Måske avancerer man ikke nogle sider i den traditionelle lærebog, men selvfølgelig lærer man noget. Selv om det valgte emne tilsyneladende kan handle om hvad som helst, handler det også altid om matematik, og indlæringen af kundskaber og færdigheder handler tilsyneladende altid om elevens motivation for at lære sig noget. Her har forældrene mulighed for at arbejde sammen med eleverne og på den måde støtte elevens motivation.

Projekter
Elevernes faglige viden og færdigheder bliver også brugt i det såkaldte projektarbejde der også ofte påbegyndes på de mellemste trin.
I projekterne sigtes der mod et konkret resultat, som regel skriftligt, af de mange overvejelser og drøftelser. Man kan derfor ikke altid være sikker på at skemaets opdeling af en dag i fag altid vil stemme overens med det der rent faktisk foregår.
I bestemte planlagte perioder kan det traditionelle skema brydes op, og lærerne tilrettelægger undervisningen omkring et emne. I sådanne undervisningsforløb skal det vise sig om eleven er i stand til at anvende den viden og de kundskaber som de har tilegnet sig, eller lært sig, i fagtimerne.

Der er også sket fremskridt i de arbejdsformer der finder anvendelse i dagens skoler, eksempelvis den eksperimenterende og den værkstedsprægede hvor eleven selv vælger stofområder og aktiviteter.

Regning er en delmængde af matematik
Matematik er meget mere end de fire regningsarter. Arbejdet med tal er kun en begrænset del af faget, men det betyder til gengæld at regnefærdigheder i hovedet, ved hjælp af noter, med lommeregner og med computer indgår i alle de øvrige områder som: geometri, problemløsning og anvendt matematik.

Symboler og variable - matematikkens sprog
Et af målene for matematikundervisningen er stadigvæk at eleverne tilegner sig viden om matematikkens særlige sprog hvor symboler ud over tal og regnetegn spiller en betydelig rolle og hvor logiske slutninger er med til at opbygge fagets resultater, tit som formler.

Da formler og symboler ofte får elever til at tage afstand fra faget, begynder man imidlertid meget lempeligt. Symbolsprog tages først i anvendelse når eleverne selv føler at det vil være en lettelse for forståelse og udtryksform.

Kompetencer
Gennem undervisningen får eleverne gradvist udviklet mange nyttige såkaldt bløde kompetencer. Det vil her sige:

- selvstændighed
- kreativitet, strategier
- samarbejdsevne
- erfaring
- evne til at kommunikere, den sproglige dimension
- evne til at handle og tage initiativ i problemløsningssituationer.

Her følger en beskrivelse af et undervisningsforløb der har fundet sted i klasser på mellemtrinnet. Det indebærer stor elevaktivitet idet de enkelte forløb blot er igangsættende. Instruktionen er meget kortvarig og enkel.
Der skal bruges et antal brikker udformet som ensfarvede kvadrater. Eleverne arbejder gruppevis sammen om aktiviteterne. 

Instruktion
Den første aktivitet udfordrer eleverne til med netop 5 ensfarvede kvadrater at forme så mange forskellige figurer som muligt. Betingelsen er blot at to kvadrater skal skubbes sammen hel kant mod hel kant og at alle 5 brikker bruges til hver figur. Man kunne også forklare eleverne at alle figurerne senere skal kunne klippes ud som sammenhængende figurer.
En sådan igangsætning har som regel været tilstrækkelig til at grupperne ihærdigt kaster sig ud i fremstilling af forskelligt udseende figurer på de angivne betingelser.
Lærerens rolle er at være opklarende, igangsættende, hjælpende, spørgende og af og til, en sjælden gang, blot til stede.

Gruppens arbejde
Grupperne finder efterhånden frem til et antal figurer. Principielt er alle svar jo rigtige, fordi det var de mulige figurer gruppen fandt frem til. Men så finder de ud af at andre grupper måske har fundet nogle andre figurer, og det animerer ofte til en fornyet indsats.
Denne indsats ender som regel med at nogle af grupperne spørger om hvor mange der kan laves. Det er et flot spørgsmål fra eleverne, og det virker helt anderledes igangsættende end hvis læreren fra begyndelsen havde bedt hver gruppe om at lave alle eksisterende figurer.
Det sker også tit i denne fase at grupperne går lidt på besøg hos hinanden for at få gode ideer til flere figurer. Klassens samlede anstrengelse kan til sidst gøres op som her.

En kasse uden låg
Herefter kan næste fase gå i gang. Det er en god ide at begynde med at vise eleverne at man godt kan folde en udklippet nr. 6 fra klassens figurer til en kasse uden låg.
Nu skal kassen helst have en sådan størrelse at den kan bruges til noget.

Nogle skal bruge saks og have figuren klippet ud før det kan afgøres. Nogle forsøger med ord alene at overbevise de andre i gruppen om det kan lade sig gøre eller ej. Klassen bliver som regel enige om hvilke figurer det handler om.

Prøv selv ved en given lejlighed at finde frem til et svar.

Eleverne kan sætte limkanter på som her.

Hvor skal limkanterne være?
I nogle af klasserne ville eleverne gerne prøve at producere kasser af de forskellige figurer. Læreren betingede sig at de så først tænkte grundigt over hvor limkanterne skulle påsættes.

Prøv selv at foretage lignende overvejelser omkring denne figur:

Det virker meget overkommeligt for de fleste grupper, og de er som regel straks indstillet på en fornyet indsats når læreren spørger om der mon er andre af de 12 figurer der kan samles til en kasse uden låg. Der bliver diskuteret og argumenteret, drøftet og efterprøvet.

De fleste elever havde ved afslutningen af det beskrevne forløb en klar fornemmelse af at have haft udfordrende geometri i mange timer.

Evaluering
Den enkelte elevs udbytte af undervisningen drøftes på alle skoler i et forum med deltagelse af forældre, eleven og elevens lærere. Alle forhold kan drøftes på et sådant møde, og de tilstedeværende lærere har i forvejen kontaktet elevens matematiklærer for at være opdateret med hensyn til viden om elevens udbytte af, interesse for og indstilling til undervisningen i faget matematik. De implicerede parter har herefter mulighed for eventuelt at regulere indsatsen eller forholde sig til den på en ny måde.
Undervisningministeriet udsendte i juli 2000 "Bekendtgørelse om uddannelsesplaner i folkeskolen". Skolevejlederen har herefter ansvaret for at eleverne udarbejder uddannelsesplaner og uddannelsesbøger.

Vejledningssamtale
Allerede fra 6. klasse afholdes en årlig vejledningssamtale mellem den enkelte elev og skolevejlederen der samarbejder herom med klasselæreren. På dette klassetrin påbegynder eleven udarbejdelsen af en uddannelsesbog. Inden vejledningssamtalen vil en række spørgsmål af betydning for elevens videre uddannelsesforløb blive skriftligt besvaret af eleverne efter samråd med forældrene. Her bliver de første uddannelsesønsker og uddannelsesforventninger drøftet og vurderet, men de er ikke bindende for elevens senere valg før midten af 8. klasse. Her kan ønskerne eventuelt danne grundlag for valg af praktikplads. Det er vigtigt at forældrene sætter sig ind i deres barns ønsker og drømme, og det anføres her fordi også oplevelser med faget matematik kan være medvirkende til forløbet af en senere uddannelsesretning.