Udgivet af forlaget Matematik, 2000 ©
Hæderlighedsgyden 6
Postboks 102, Nordby
8305 Samsø
tlf. 8659 6022    fax 8659 6268
E-mail: Denne emailadresse er beskyttet mod programmer som samler emailadresser. Du skal aktivere javascript for at kunne se adressen.

Redaktion: Hans Jørgen Hansen,
Marikka Andreasen og Jørgen Vognsen
Layout: Marianne Kongsted Olsen
Fotos: Marianne Kongsted Olsen og Jørgen Vognsen
Tryk: Clemenstrykkeriet, Århus
ISBN 87-88228-60-6

Hvorfor har vi matematik i skolen?
Det spørgsmål har du måske stillet dig selv - og ikke fundet et godt svar
Til daglig klarer du dig da meget godt uden at bruge matematik. Du dyrker sport, hygger dig med vennerne, lytter til god musik, ser en film, tjener lidt penge i et fritidsjob, går i skole. I skolen har du selvfølgelig nogle matematiktimer, men alt i alt synes matematikken ikke at spille den store rolle i dagliglivet.
Det skyldes, at du først og fremmest ser den mest enkle matematik blive brugt. Du holder selv styr på pointtællingen, når du spiller badminton. Du laver lidt overslagsregning i hovedet, når du køber ind. Du ser, at der er syv minutter til bussen kører. Den slags beregninger klarer vi i hverdagen uden at tænke på matematik - men at vi kan gøre det, skyldes måske, at vi har lært noget matematik, fx i matematiktimerne.
Et redskab
Så snart matematikken eller beregningen bliver lidt kompliceret, ser du kun resultaterne af, at matematikken er blevet brugt. Meningen med matematik og undervisning i matematik er at udvikle redskaber til at løse problemer med talstørrelser mere eller mindre automatisk. Anvendelsen af matematik bliver derfor også mere og mere automatiseret. For ikke så mange år siden skulle en butiksassistent være sikker i

sine regnefærdigheder. I dag skal hun kunne finde stregkoden på varen og holde en stregkodelæser hen foran den. Så registrerer kasseapparatet, hvilke varer der er købt, og beregner prisen. Men for at lave dette system og for at vedligeholde det er det nødvendigt at have viden om matematik.

Uddannelse
Mange uddannelser lægger vægt på, at du får gode kundskaber i matematik. Baggrunden er, at den teknologiske udvikling er nært forbundet med anvendelse af matematik. En uddannelse skal give dig en god baggrund for fremover at følge udviklingen i det fag, du uddanner dig til. Derfor underviser man dig i matematik, der vedrører det fagområde, uddannelsen retter sig imod. I skolen får du en grundlæggende matematikundervisning.

Passer rørdimensionerne sammen, så udluftningen fungerer?

Hvor kraftigt skal rebet være, så det kan holde til at hejse kassen-op på stilladset til 4. sals højde?

Samfundet
Vi lever i et samfund, der er præget af demokrati. Vi har mulighed for at få indflydelse på mange beslutninger, der vedrører os. Men din erfaring med demokrati i skolen har sikkert lært dig, at for at få indflydelse skal man skaffe sig viden, kunne skabe sig overblik og kunne se kritisk på tingene.

I mange situationer, hvor der skal tages demokratiske beslutninger, skal man vurdere forhold og sammenhænge, hvori der indgår spørgsmål af typen, hvor meget? - hvor mange? - hvor stor?- hvorfor? - hvordan? - hvornår? Matematikundervisningen kan give dig gode redskaber til at gennemskue talsammenhænge. Og den kan give dig indblik i, hvordan du kan vurdere, om matematik er anvendt på troværdig måde - fx i forudsigelser og prognoser om trafikudvikling, beskæftigelse eller prisudvikling.

I matematikundervisningen i skolens ældste klasser lægges der vægt på, at du i stigende grad tager medansvar for dit udbytte af undervisningen.

To slags emner
I de foregående klasser har du sikkert allerede erfaret, at der er to slags emner i matematikundervisningen.
- De matematiske emner, der handler om, hvilken betydning forskellige ord og begreber har i matematikken, om hvordan du regner med tallene og om sammenhænge mellem tal og linjer og punkter. Nogle vigtige emner er algebra, funktioner, geometri og statistik.

Matematiske modeller

En beregningsmodel

Normalpris = udsalgspris + rabat

- Den anden slags emner handler om, hvordan matematik kan anvendes i dagliglivet, i arbejdslivet og i samfundslivet. Du lærer om, hvordan man med matematiske modeller af virkeligheden kan skabe overblik, planlægge og holde styr på indviklede forhold. Du vil sikkert få lejlighed til at arbejde med planlægning af din egen økonomi, tegne din egen bolig, beregne skat og undersøge finansiering af køb.

Oftest foregår undervisningen på en måde, så arbejde med praktiske anvendelser af matematik giver dig indblik i, hvad matematikken kan bruges til. Samtidig får du åbnet øjnene for teoretiske matematikemner, som er nødvendige for den praktiske anvendelse og ønskelige for at komme videre.

En graf-model

Tegnede modeller

Computere og matematik hører sammen, mener mange. Det er også rigtigt, forstået på den måde at computeren, med det rigtige program, er fantastisk til at regne med tal i en frygtelig fart. Men om computeren er til nogen nytte, bestemmes af den viden, du har om tal og matematiske modeller, altså af din matematikviden.

Undervisningsprogrammer
Computeren kan i nogle tilfælde hjælpe dig med at opnå denne viden. Med nogle programmer kan du få lejlighed til at gennemskue matematiske lovmæssigheder. Med andre programmer kan du øve dig i at genkende matematiske begreber eller træne færdigheder, f.eks. gangetabeller!
Men hvorfor træne gangetabeller, når computeren eller lommeregneren regner rigtigt? Jo, det er dig, der taster tallene ind - og måske taster du forkert. Hvis du ikke har en opøvet forventning til, hvad resultatet burde være, er der ingen til at sikre, at resultatet er til at stole på.

Computermatematik
Computerens styrke er dens evne til at regne hurtigt. Den giver mulighed for at simulere. Med den kan du hurtigt efterprøve, om et forslag til løsning af et problem er et godt forslag.
Det betyder så, at en del af de matematikfærdigheder og de metoder, der før i tiden blev brugt meget tid på at lære, efterhånden erstattes af andre færdigheder og metoder, som er præget af brugen af computer.
Samtidig sætter brugen af computer sit præg på, hvad det er for nogle emner og problemer, vi kan arbejde med i skolens matematikundervisning.

Færdigheder og viden i matematik
I matematik, i sprog, i håndbold, i madlavning og i de fleste andre sammenhænge hører viden og færdigheder sammen som to sider af samme mønt. Viden giver dig overblik over, hvad du kan gøre. Færdigheder giver dig øvelse i at gøre det. Når du lærer, er det vigtigt, at viden og færdigheder hænger sammen. Når du bruger matematik, skal du vide meget om tal - hvordan du skriver dem, og hvad forskellige måder at skrive tal på betyder. Du skal vide, hvad de forskellige regningsarter kan gøre med tallene, og hvorledes du skal beregne for at få det rigtige resultat af fx 23 + 34-7. Men du skal også have øvelse, færdighed, i at regne - på lommeregner eller computer - og i hovedet!

Hovedregning
Hovedregning er ikke overflødig, selv om lommeregnerne overtager besværlige beregninger. Det vil altid være praktisk at kunne gøre små dagligdags beregninger i hovedet. Men det er også nødvendigt at opøve og bevare en talfornemmelse, som giver dig forventninger til resultatet. Med den kan du fornemme, om du har gjort noget forkert, da du tastede den besværlige beregning ind på lommeregneren.

Nye færdigheder
De færdigheder, du skal arbejde med i matematik i dag, er en del anderledes end de færdigheder, dine forældre skulle arbejde med. Dine forældre skulle opnå færdigheder i at regne sikkert og hurtigt med blyant og papir, fordi regnemaskiner ikke var så almindelige.

Lommeregneren er til stor hjælp og sparer masser af tid.

Den slags færdigheder er blevet mindre vigtige, da en lommeregner kan klare besværlige beregninger hurtigt og sikkert.
Til gengæld stiller brugen af lommeregner og computer større krav til din sikkerhed i at bruge formler, i at vurdere resultaters nøjagtighed og i at vælge og tilrette det bedste diagram til at vise dine resultater. 

Eksperimentere

Eksperimenter giver mod til at lege med matematikken

Du skal bruge 5 hvide terninger samt en rød og en blå terning.

Den røde terning forestiller 10-ere og den blå terning forestiller 1-ere.

Slå alle 7 terninger Dette kunne være udfaldet:

Den røde og den blå terning giver dig 2 tiere og 5 enere, altså 25!

Dan nu ved hjælp af de hvide terninger og alle de regningsarter, du kender, tallet 25

Det kunne gøres sådan:
(4 + 2) * (2 + 3) - 5 = 25
eller sådan:
2 • 2^3 + 5 + 4 = 25

Eksperimenter selv - spil evt. med en kammerat

Du vil sikkert føle, at en stor del af dit arbejde med matematik består i at arbejde med opgaver - alene eller i en lille gruppe.

Arbejdet med forskellige slags opgaver er vigtigt for at gøre din viden præcis og dine færdigheder sikre. Men du lærer ikke matematik bare for at kunne regne matematikopgaver, og du lærer ikke matematik blot ved at regne matematikopgaver. Matematik lærer du også ved at være opmærksom på, hvor du støder på den i andre fag og i andre sammenhænge. Og du lærer matematik ved at anvende den til at systematisere

viden i almindelighed. I projektarbejde og projektopgaver er matematik et stærkt redskab til at skabe sig dybere indsigt i mange forhold. Matematik kan anvendes og samtidig læres i mange sammenhænge, som du ikke støder på i matematiktimerne. Din matematiklærer kan vejlede dig.

I mange situationer efter din skoletid, under din uddannelse, i dit arbejdsliv, i dit familieliv og i din tilværelse som borger kan en bred matematisk viden hjælpe dig til at overskue situationer, der er præget af sammenhænge mellem tal, af forhold mellem størrelser, af forskelle eller af sammenligninger. 

Gennem matematikken kan du få redskaber til at beregne, hvor du ikke kan måle, og forudsige, hvor du ikke kan vide.
På den måde kan matematikken være en del af dit grundlag for at gøre din mening gældende, begrunde dine synspunkter og opnå indflydelse i forskellige dele af din tilværelse.
Matematikken har også nogale sider, der kan se ud til at være mindre nyttebetonede. Kunstnere

har fundet inspiration til musik, til billedkunst, til skulpturer, til romaner og til mange andre slags værker ved at beskæftige sig lystbetonet med matematik. H. C. Andersen har skrevet om Pythagoras' sætning. Billedkunstnere og komponister har brugt "Det gyldne snit" og matematisk viden om mønstre. For malerkunsten har geometrien været af stor betydning for udviklingen af forståelse for, hvorledes man gengiver dybde i et billede. Du vil med sikkerhed møde flere af disse emner i matematikundervisningen. 

Matematik kan også være andet end udregninger. Det kan være utroligt spændende at dykke ned i matematikken.

Lystbetonet beskæftigelse med "unyttige" ting har også givet anledning til udvikling af væsentlige grene af matematikken. Det var således spørgsmål om terningkast og chancen for at få en sekser, der i midten af 1600-tallet satte gang i udviklingen af sandsynlighedsregningen. Sandsynlighedsregning er siden blevet udnyttet flittigt - ikke kun af spillere, men fx også af forsikringsselskaber, meteorologer, statistikere og markedsundersøgere.

Alt dette kan du lære om
- ved at være nysgerrig, interesseret og
eksperimenterende i dit arbejde med matematik
- ved at udnytte mulighederne for at bruge matematik i sammenhæng med andre fag og emner, når der er lejlighed til det
- og ved at bringe din viden fra andre fag og fra din øvrige omverden med ind i matematikundervisningen.

At arbejde i grupper
Du kender sikkert allerede meget til at arbejde i grupper. Og der er stadig rigtig mange emner, hvor du opnår den bedste forståelse, hvis I er flere sammen om arbejdet. Det kan være i et arbejde med statistisk materiale om samfundet, hvor det er vigtigt at diskutere, hvad tallene betyder. Det kan også være i en mere praktisk situation, hvor I arbejder med at beskrive og bygge en model af en bro, et skib, en rumfærge eller et landskab.

Det bedste resultat af at arbejde i grupper får I, når I ikke blot fordeler arbejdsopgaverne

imellem jer, og i virkeligheden arbejder hver for sig. I bør udnytte, at de enkelte personer i gruppen tænker på hver sin måde.

Når flere kommer med ideer til arbejdet, bliver der mange flere synspunkter at overveje, end hvis du arbejder alene. Når I diskuterer jeres arbejde, skal I forklare eller begrunde over for hinanden, hvorfor I vil vælge en bestemt fremgangsmåde. Desuden vil I erfare, at der gives forskellige svar, afhængig af hvilke oplysninger I finder vigtige eller hvilke veje, I benytter jer af.

Det er nemlig ikke rigtigt, at der kun er ét facit i matematik, men det er rigtigt, at der i en beregning med bestemte tal kun gives ét rigtigt facit.

At arbejde alene
Der er dog også ting, der bedst læres, når du er alene om arbejdet.

Hvis du ønsker at gøre dig dygtigere til en bestemt færdighed inden for matematikken, er det lettere at finde et passende tempo og en tilpas sværhedsgrad, når du arbejder alene. Det kunne fx være at tegne på computeren, at finde oplysninger på Internettet eller at regne i hovedet.

Man kan karakterisere færdigheder som redskaber, der bruges i arbejdet med større og mere komplicerede emner. Det er vigtigt for dig at opnå så gode færdigheder som muligt og at forstå at anvende dem i det egentlige arbejde med større problemstillinger.

I matematikundervisningen vil det være af stor værdi, at du ikke kun lytter til, hvad din lærer eller andre fortæller dig. Du kan ikke huske al ting til enhver tid. Det har betydning, at du forstår og ikke blot forsøger at huske den matematik, du arbejder med. Så kan du bruge den, når du er færdig med skolen.

Bliv god til at vælge
Det er også vigtigt, at du tænker over, hvilke metoder du har benyttet dig af.

Når du lærer forskellige tegnemetoder i matematikundervisningen, får du forståelse for, at forskellige metoder viser forskellige ting ved det tegnede. Du skal altså blive god til at vælge

den bedste metode til at give dig svar på det, du ønsker.
I matematiktimerne taler I med hinanden og med læreren om de problemstillinger, I søger løsninger til. Når I diskuterer med hinanden og giver jeres viden videre, bliver det mere tydeligt for dig, hvis der er områder, du ikke er sikker i. Ofte vil du opleve, at du bedre forstår et matematisk problem, når du fortæller om det med dine egne ord. Dine egne ord kan være lige så gode som ord eller symboler fra matematikken. Ved at kunne veksle mellem det matematiske sprog med de præcise betydninger af ord og symboler og dit mere nuancerede dagligsprog opnår du at kunne vælge friere, når du har brug for at forklare eller beskrive en sammenhæng.

Hold øje med, at du lærerl

Ved du, hvad 7 x 9 er?
- Måske ved du det, fordi du har øvet og øvet og øvet dig på tabellerne.
- Måske ved du det, fordi du har lagt mærke til, at det jo netop er 7 mindre end 70.
- Måske ved du det, fordi du engang lagde mærke til, at det lige var 7 x 9, du aldrig kunne huske.

Når du vil lære noget - og vil lære det på den nemmeste måde - er det vigtigt at have opmærksomheden rettet mod, at du er i gang med at opdage noget nyt. Du er i en situation, hvor noget, du har læst, noget du har hørt, eller noget, du øver dig på, er ved at blande sig med det, du hidtil har kunnet - og det sker bedst, når du lægger mærke til det!

Egne notater
Du kan også gøre notater om det, du lærer. Med dine egne notater kan du ofte gøre det, der står i undervisningsmaterialerne, mere tilgængeligt for dig selv. Dine notater kan være en stor hjælp, når du skal forberede dig til afgangsprøverne i matematik. I notaterne kan du se, hvad du på et tidspunkt har anset for at være svært, og som nu virker let. Du kan i tide blive mindet om ting, som du stadig ikke er helt sikker på. Derved kan du nå at få hjælp til at forstå det. Dine egne notater må du bruge til prøverne (undtaget færdighedsdelen). Det kan dog være en fordel at sortere dem kritisk inden prøverne. For mange papirer at lede rundt i kan godt virke forvirrende og forstyrrende i en travl arbejdssituation.

På samme måde kan det være en fordel at samle skriftlige arbejder og andre arbejdsprodukter, du har lavet. Ved at se i dem kan du holde øje med fremskridtene i din proces med at lære matematik.

Prøv for dig selv
at besvare spørgsmålene:

- Hvilken forbindelse er der mellem det, jeg arbejder med nu og det, jeg har lært før?
- Hvad er vigtigt ved dette emne?

Synes du ikke, at du kan give nogle gode svar, så brug din lærer som rådgiver. Din lærer kan hjælpe dig med at rette opmærksomheden mod det væsentlige.

Når du selv har skrevet noget ned, husker du det bedre.

Geometri kan overraske

I matematiksproget er der nogle sære ord - og nogle, der ikke har helt samme betydning som normalt!

- Tegn korder gennem det røde punkt.
- Tegn normaler i kordernes endepunkter.
- Tegn nye korder og normaler.
- Find ellipsen!